Jumat, 10 Februari 2012

LATIHAN PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1
Penyelesaian:
(i) Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh:  20 = 20+1 – 1.
Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 – 1
= 21 – 1
= 2 – 1
= 1
(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu
20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1 juga benar. 
Ini kita tunjukkan sebagai berikut:
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1
= (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)
=  (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2 . 2n+1) – 1
= 2n+2 – 1
= 2(n+1) + 1 – 1
Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

Sumber : http://kucingdesa.students-blog.undip.ac.id/?p=97

Tidak ada komentar:

Posting Komentar